3* sqrt(x+2) меньше либо равно 6-|x-2|

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти значения x, при которых 3√(x+2) ≤ 6 - |x-2|, нужно рассмотреть два случая:

x-2 ≥ 0: В этом случае |x-2| = x-2, и неравенство примет вид 3√(x+2) ≤ 6 - (x-2). Решим его:
3√(x+2) ≤ 6 - x + 2,
3√(x+2) ≤ 8 - x.
Учтем, что x-2 ≥ 0 и x ≥ 2:
x+2 ≤ (8 - x)^2,
x+2 ≤ 64 - 16x + x^2,
0 ≤ x^2 - 17x + 62,
0 ≤ (x-1)(x-16).

Таким образом, при x принадлежащим [2;16] выполняется неравенство в данном случае.

x-2 < 0: В этом случае |x-2| = -(x-2) = 2-x, и неравенство примет вид 3√(x+2) ≤ 6 - (2-x). Решим его:
3√(x+2) ≤ 6 - 2 + x,
3√(x+2) ≤ 4 + x.
Учтем, что x-2 < 0 и x < 2:
x+2 ≤ (4 + x)^2,
x+2 ≤ 16 + 8x + x^2,
0 ≤ x^2 + 7x + 14,
0 ≤ (x+2)(x+7).

Таким образом, при x принадлежащим (-∞;2) выполняется неравенство в данном случае.

Объединяя результаты двух случаев, получаем, что выполнение неравенства возможно при x принадлежащим (-∞;16].