Назовем число "красивым", если в его десятичной записи нет цифры ноль и оно делится на сумму свои цифр. Докажите, что среди десятичных чисел существует хотя бы одно "красивое" число

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что среди десятичных чисел нет "красивых" чисел. Это означает, что для любого числа его десятичная запись содержит цифру 0 или оно не делится на сумму своих цифр.

Рассмотрим два случая:

Если десятичная запись числа содержит цифру 0. Тогда сумма цифр числа также содержит цифру 0, значит, число не делится на сумму своих цифр.Если десятичная запись числа не содержит цифру 0. Тогда можно записать число в виде a0b, где a и b являются ненулевыми цифрами. Так как число не делится на сумму своих цифр, то a0b не делится на a+b, следовательно, a0b не может быть "красивым".

Из этих двух случаев следует, что все десятичные числа не являются "красивыми". Однако, мы можем рассмотреть число 1, которое не содержит цифры 0 и делится на сумму своей цифры (1 = 1). Следовательно, есть хотя бы одно "красивое" число - число 1.