10 учеников на олимпиаде решили 35 задач. Известно что среди них есть ученики которые решили 1 задачу.2 задачи и 3 задачи.Доказать что есть ученики которые решили не менее 5 задач

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте предположим, что все ученики, кроме тех, кто решил 1, 2 или 3 задачи, решили не более 4 задач.

Пусть X обозначает количество учеников, решивших 1 задачу, Y - количество учеников, решивших 2 задачи, Z - количество учеников, решивших 3 задачи.

Тогда имеем систему уравнений:

X + Y + Z = 10 (общее количество учеников - 10)
X + 2Y + 3Z = 35 (общее количество задач - 35)

Из первого уравнения получаем, что X = 10 - Y - Z. Подставляя это во второе уравнение, получаем:

10 - Y - Z + 2Y + 3Z = 35
10 + Y + 2Z = 35
Y + 2Z = 25
Y = 25 - 2Z

Так как Y - количество учеников, решивших 2 задачи, не может быть отрицательным числом, то Y >= 0, из чего следует, что Z <= 12,5.

Но так как количество учеников целое число, то Z <= 12. Так как Z может быть только натуральным числом, то Z равно 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 или 12.

Теперь оценим минимальное количество задач, которые решили ученики:
Для Z = 1, Y = 25 - 21 = 23, X = 10 - 23 - 1 = -14 (не может быть)
Для Z = 2, Y = 25 - 22 = 21, X = 10 - 21 - 2 = -13 (не может быть)
Для Z = 3, Y = 19, X = -12 (не может быть)
Для Z = 4, Y = 17, X = -11 (не может быть)
Для Z = 5, Y = 15, X = -10 (не может быть)
Для Z = 6, Y = 13, X = -9 (не может быть)
Для Z = 7, Y = 11, X = -8 (нельзя)
Для Z = 8, Y = 9, X = -7 (нельзя)
Для Z = 9, Y = 7, X = -6 (нельзя)
Для Z = 10, Y = 5, X = -5 (нельзя)
Для Z = 11, Y = 3, X = -4 (нельзя)
Для Z = 12, Y = 1, X = -3 (нельзя)

Таким образом, мы видим, что нет возможности, чтобы Z было равно 5 или больше, следовательно, наше предположение неверно.

Значит, среди 10 учеников есть те, которые решили не менее 5 задач.
Доказано.