1)Определить, при каких значениях a и b многочлен x^3+ax^2+2x+b делится на x^2+x+1 2)В каких пределах изменяется скорость точки, движущейся равномерно по прямой, если известно, что при увеличении скорости на 3 м/с время, в течение которого эта точка проходит расстояние в 630 метров, сокращается не меньше, чем на 1 с и не более, чем на 280?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Чтобы многочлен x^3+ax^2+2x+b делился на x^2+x+1, необходимо, чтобы остаток от деления этого многочлена на x^2+x+1 был равен 0.

Для этого найдем частное от деления многочлена x^3+ax^2+2x+b на x^2+x+1. Так как x^3+ax^2+2x+b = (x^2+x+1)q(x) + r(x), где q(x) - частное от деления, r(x) - остаток от деления, и deg(r(x)) < deg(x^2+x+1) = 2.

Подставляем x = 1 в уравнение, чтобы получить r(x):
1 + a + 2 + b = q(1)(1^2+1+1) + r(1)
a + b + 3 = 3q(1) + r(1)
r(1) = a + b + 3 - 3q(1)
Так как r(x) — многочлен первой степени, подставляем x = -1, чтобы получить еще одно уравнение:
-1 + a - 2 + b = q(-1)((-1)^2-1+1) + r(-1)
a + b - 3 = 3q(-1) + r(-1)
r(-1) = a + b - 3 - 3q(-1)

Для того чтобы r(x) = 0, r(1) = 0 и r(-1) = 0 (иначе многочлен не делится),
решаем систему уравнений:
{a + b + 3 - 3q(1) = 0,
a + b - 3 - 3q(-1) = 0

2) Пусть скорость точки до увеличения составляет v м/с, тогда время, за которое точка проходит 630 метров равно t = 630/v с.
После увеличения скорости на 3 м/с скорость станет равна v + 3 м/с, а время, за которое точка пройдет те же 630 метров будет t - 1 с.
Таким образом, из условия задачи имеем:
630/v - (v+3) = 630/(v+3)
630/v - v - 3 = 630/(v+3)
630 - v^2 - 3v = 630v
v^2 + 3v - 630 = 0
(v - 21)(v + 30) = 0

Из уравнения v^2 + 3v - 630 = 0 находим два корня: v1 = 21 м/с и v2 = -30 м/с.
Значит, скорость точки изменяется в пределах от -30 м/с до 21 м/с.