3sinx^2x-2корень из 3*sinx*cosx+cos^2x=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этого уравнения нам необходимо преобразовать его, используя формулы тригонометрии.

Сначала раскроем квадрат синуса и квадрат косинуса:

3sin^2(x) - 2√3sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 0

Затем воспользуемся формулой суммы квадратов синуса и косинуса:

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Теперь заменим sin^2(x) на (1 - cos^2(x)) в уравнении:

3(1 - cos^2(x)) - 2√3sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 0

Раскроем скобки:

3 - 3cos^2(x) - 2√3sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 0

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

3 - 3cos^2(x) - 2√3sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 0

Разложим уравнение на два уравнения:

3 - 3cos^2(x) + cos^2(x) - 2√3sin(x)cos(x) = 0

Упростим:

3 - 2cos^2(x) - 2√3sin(x)cos(x) = 0

Преобразуем:

2cos^2(x) + 2√3sin(x)cos(x) - 3 = 0

Это квадратное уравнение относительно cos(x). Решим его сначала относительно cos(x), а затем найдем значения sin(x) из условий.

Получаем квадратное уравнение вида: ax^2 + bx + c = 0

Где a = 2, b = 2√3, c = -3

D = b^2 - 4ac
D = (2√3)^2 - 42(-3)
D = 4*3 - (-24)
D = 12 + 24
D = 36

cos(x) = (-b +- √D) / 2a

cos(x) = (-2√3 +- √36) / 4
cos(x) = (-2√3 +- 6) / 4

Для двух значений cos(x):

1) cos(x) = (-2√3 + 6) / 4 = (√3 + 3) / 2
2) cos(x) = (-2√3 - 6) / 4 = (-√3 - 3) / 2

Теперь найдем sin(x) для каждого значения cos(x). Можно воспользоваться формулой: sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

1) sin^2(x) = 1 - ((√3 + 3) / 2)^2
sin^2(x) = 1 - (3 + 6√3 + 9) / 4
sin^2(x) = 1 - (12 + 6√3) / 4
sin^2(x) = (4 - 12 - 6√3) / 4
sin^2(x) = (-8 - 6√3) / 4
sin^2(x) = -2 - 3√3

2) sin^2(x) = 1 - ((-√3 - 3) / 2)^2
sin^2(x) = 1 - (3 + 6√3 + 9) / 4
sin^2(x) = -2 - 3√3

Таким образом, у нас получаются две пары значений sin(x) и cos(x).