В прямоугольном треугольнике abc проведена высота cd найдите углы треугольника если площадь треугольника dbc в 3 раза больше площади треугольника adc

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть углы треугольника abc равны α, β и γ, где α - угол при вершине a, β - угол при вершине b, γ - угол при вершине c.

Так как высота cd проведена из вершины c, то треугольник dbc и треугольник adc будут подобны по принципу угловой стороны, а значит их площади будут в отношении площадей квадратов гипотенуз треугольников, проведенных к общему катету:

S(dbc) / S(adc) = bd^2 / ad^2

Так как bd = cd = hc, где h - высота треугольника abc, и да=ac, то:

S(dbc) / S(adc) = hc^2 / ac^2 = (hc / ac)^2

Так как ac^2 = hb^2 + hc^2, а по условию задачи S(dbc) = 3*S(adc), то:

(hc / ac)^2 = 1/(hb^2 + hc^2) = 1/(2hb^2 + 3b^2) = 3/(3hb^2 + 9b^2) = 3/(hb^2 + 3b^2)

Отсюда следует, что hb = b.

Теперь найдем углы треугольника abc:

Из пункта 3 вытекает, что ab = bc = hc = b, так как hb = b.

Таким образом, углы треугольника abc равны α = 90°, β = 45°, γ = 45°.