База индукции (n=1)1² = 1, искомая сумма равна 1, утверждение верно.
Предположение индукцииПусть для некоторого k верно, что 1+3+5+...+(2k-1) = k².
Индукционный переходДокажем, что 1+3+5+...+(2(k+1)-1) = (k+1)².
Рассмотрим левую часть1+3+5+...+(2(k+1)-1) = (1+3+5+...+(2k-1)) + 2(k+1) - = k² + 2k + 2 - = k² + 2k + = (k+1)².
Таким образом, мы показали, что если утверждение верно для k, то оно верно и для k+1. Из базы индукции и предположения мы можем заключить, что утверждение верно для всех натуральных чисел n.
База индукции (n=1)
1² = 1, искомая сумма равна 1, утверждение верно.
Предположение индукции
Пусть для некоторого k верно, что 1+3+5+...+(2k-1) = k².
Индукционный переход
Докажем, что 1+3+5+...+(2(k+1)-1) = (k+1)².
Рассмотрим левую часть
1+3+5+...+(2(k+1)-1) = (1+3+5+...+(2k-1)) + 2(k+1) -
= k² + 2k + 2 -
= k² + 2k +
= (k+1)².
Таким образом, мы показали, что если утверждение верно для k, то оно верно и для k+1. Из базы индукции и предположения мы можем заключить, что утверждение верно для всех натуральных чисел n.