Найти НОД ((a^n) -1, (a^m) -1)) Где a - целое число, n, m - натуральное число Найти НОД ((a^n) -1, (a^m) -1)) Где a - целое число, n, m - натуральное число

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Если a = 1, то (a^n) - 1 = 0, а НОД(0, (a^m) - 1) = НОД(0, -1) = 1

Если a > 1, то применим формулу разности кубов
(a^n - 1) = (a - 1)(a^(n-1) + a^(n-2) + ... + a + 1
(a^m - 1) = (a - 1)(a^(m-1) + a^(m-2) + ... + a + 1)

Таким образом, НОД((a^n) -1, (a^m) -1)) = a - 1, если n и m не кратны друг друг
и НОД((a^n) -1, (a^m) -1)) = a^n - 1, если n и m кратны друг другу.