Медиана прямоугольного треугольника проведенная к гипотенузе равна 14 см и образует с одним из катетов угол вдвое больше, чем с другим. Найдите катеты треугольника и высоту, проведённую к гипотенузе

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть один из катетов равен х см, а другой у см.

Так как медиана, проведенная к гипотенузе, равна 14 см, то она делит гипотенузу на две равные части, следовательно, одна часть равна 7 см.

Пусть угол, образуемый медианой с х см катетом, равен α. Тогда угол, образуемый медианой с у см катетом, равен 2α.

Рассмотрим треугольник с гипотенузой в качестве основания, медианой и высотой, проведенной к гипотенузе.
Так как медиана делит гипотенузу на две равные части, то составляет прямой угол с ней, значит, его вершина лежит на высоте, а также, в силу свойств медианы, делает её в отношении к гипотенузе, соответственно, 1:2.

Учитывая это, легко видеть, что угол, образованный одним из катетов и гипотенузой, равен 90° - α, а другим катетом и гипотенузой в более правильном треугольнике равен 90° - 2α.

Получаем два уравнения:
[\begin{cases} \frac{u}{2} + x \cos(\alpha) = y \sin(\alpha) \ x \sin(\alpha) = \frac{u}{2} + y \cos(\alpha) \end{cases}]

[ \frac{u}{2} + x^2 = y^2 ]
[ x = 7 - y ]
[ u = 14 ]

[ \begin{cases} y^2 + 2 y \sqrt{49 - y^2} + y^2 = 196 \ 49 - y^2 = 49 - y^2 \end{cases} ]

[ y = 7 \text{ или } 21 ]

[ x = 14 - 7 = 7 \text{ или } x = 21 - 7 = 14 ]

Следовательно, длины катетов: 7 и 21 см. Высота, проведённая к гипотенузе равна [ \sqrt{7 \cdot 21} = 14 \text{ см} ].