Докажите, что число 11^10-1 делится на 100. Докажите, что число 11^10-1 делится на 100.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы доказать, что число (11^{10}-1) делится на 100, докажем, что оно делится на 4 и на 25.

Деление на 4:
Чтобы проверить, делится ли число (11^{10}-1) на 4, нужно посмотреть остаток от деления числа на 4. Так как 11 и 4 взаимно просты, то остаток от деления 11 на 4 равен 3. Тогда для проверки остатка от деления (11^{10}) на 4 возводим остаток 3 в степень 10: (3^{10}=59049). Остаток от деления 59 049 на 4 равен 1, что значит, что (11^{10}) делится на 4.

Деление на 25:
Чтобы проверить, делится ли число (11^{10}-1) на 25, воспользуемся малой теоремой Ферма. Так как 11 и 25 взаимно просты, то (11^{24} \equiv 1) (mod 25). Тогда (11^{10} = 11^{24} \cdot 11^{-14} \equiv 11^{-14}) (mod 25). Найдем обратный элемент к 11 по модулю 25: (11 \cdot 11 = 121 \equiv 21) (mod 25). Тогда ((11^{-1})^2 = 21^2 = 441 \equiv 16) (mod 25). И, наконец, (11^{-1} = 4). Тогда (11^{-14} = (11^{-1})^{14} = 4^{14}). Остаток от деления 4 в степени 14 на 25 равен 1, следовательно (11^{10}) делится на 25.

Таким образом, число (11^{10}-1) делится и на 4, и на 25, что значит, что оно делится на их произведение 100.