В окружность радиуса 11 вписан квадрат, в который также вписана окружность. Во внутреннюю окружность вписан прямоугольный треугольник с тангенсом одного из углов, равным 7. Найдите площадь этого треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть прямоугольный треугольник имеет катеты a и b, а гипотенуза равна c. Пусть угол, тангенс которого равен 7, обозначен как α.

Так как тангенс угла α равен 7, то tg(α) = a / b = 7. Из этого следует, что a = 7b.

Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника:
c^2 = a^2 + b^2 = (7b)^2 + b^2 = 50b^2.

Так как данный треугольник вписан в окружность радиуса 11, то его гипотенуза должна быть равна диаметру этой окружности, то есть 2 радиусам, т.е. 22.
∴ 50b^2 = 22^2.

Отсюда b = 22 / sqrt(50) = 22 / (5 sqrt(2)) = 2.2 sqrt(2).

Так как a = 7b = 7 2.2 sqrt(2) = 15.4 sqrt(2), то площадь треугольника равна:
S = (a b) / 2 = (15.4 sqrt(2) 2.2 * sqrt(2)) / 2 = 33.88.

Итак, площадь прямоугольного треугольника, вписанного во внутреннюю окружность радиуса 11, равна 33.88.