Найдите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции `y=2/x-8/x^3+x` в точке х = 2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем координаты точки пересечения графика функции с осями координат.

Уравнение функции: y = 2/x - 8/x^3 + x

Для нахождения точек пересечения с осью Ox (ось абсцисс) решим уравнение y = 0:

0 = 2/x - 8/x^3 + x
0 = 2 - 8/x^2 + x^2
8/x^2 = 2 + x^2
8 = 2x^2 + x^4
x^4 + 2x^2 - 8 = 0

Подставим x^2 = t:

t^2 + 2t - 8 = 0
(t + 4)(t - 2) = 0
t = -4 или t = 2

Если t = -4, то x^2 = -4, что невозможно, значит t = 2.

Отсюда x^2 = 2, x = √2 или x = -√2. Так как x > 0, то x = √2.

Таким образом, точка пересечения с осью Ox равна (x, 0) = (√2, 0).

Теперь найдем производную функции и используем ее для нахождения углового коэффициента касательной в точке x = √2.

y' = d(2/x - 8/x^3 + x)/dx
y' = -2/x^2 + 24/x^4 + 1

Угловой коэффициент касательной в точке x = √2 будет равен y'(√2):

y'(√2) = -2/2 + 24/8 + 1
y'(√2) = -1 + 3 + 1
y'(√2) = 3

Теперь уравнение касательной в точке x = √2 имеет вид y - 0 = 3(x - √2), упростим его:

y = 3x - 3√2

Теперь найдем точку пересечения касательной и оси Oy:

При x = 0:

y = 3*0 - 3√2
y = -3√2

Точка пересечения касательной и оси Oy равна (0, -3√2).

Площадь треугольника, образованного осями координат и касательной, равна половине модуля определителя матрицы, составленной из координат вершин треугольника.

S = 0.5 |(0 - 0) (-3√2 - 0) - (√2 - 0) (0 - 0)|
S = 0.5 |-3√2 -√2|
S = 0.5 6
S = 3

Площадь треугольника равна 3.