Известно, что числа х,у, √х+√у рациональные. Докажите, что числа √х и √у также являются рациональными

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть √x = a/b и √y = c/d, где a, b, c, d - натуральные числа.

Тогда √x + √y = (ad + bc) / bd.

Поскольку √x + √y - рациональное число, допустим, что √x и √y - иррациональные числа.

Тогда разности ad и bc не равны нулю, так как если они равны нулю, то в сумме √x + √y тоже равно нулю, что означает, что √x = -√y, что невозможно для иррациональных чисел x и y.

Но в таком случае ad + bc представляет собой иррациональное число, которое равно √x + √y - противоречие предположению о рациональности √x+√y.

Следовательно, наше предположение неверно, и √x и √y действительно являются рациональными числами.