Длины сторон треугольника а, б, с. Докажите что Докажите что (a^2+b^2+c^2)^2>2(a^4+b^4+c^4)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала раскроем квадрат в левой части неравенства
(a^2 + b^2 + c^2)^2 = a^4 + b^4 + c^4 + 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2).

Заметим, что (a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) можно представить в виде (a^4 + b^4 + c^4) + (a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) - (a^4 + b^4 + c^4). Тогда левая часть неравенства примет вид:

a^4 + b^4 + c^4 + 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) = (a^4 + b^4 + c^4) + (a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) + (a^4 + b^4 + c^4) + (a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) - (a^4 + b^4 + c^4).

Получается, что левая часть неравенства равна двойному суммированию неравенства (a^4 + b^4 + c^4) + (a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2), что, согласно неравенству о средних Абеля, больше 2(a^4 + b^4 + c^4).

Таким образом, мы доказали неравенство (a^2 + b^2 + c^2)^2 > 2(a^4 + b^4 + c^4).