Доказано, что при любое натуральное число а, а^5-5а ^3+4а делится на 120

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Проверим базу индукции
При a=1: 1^5 - 51^3 + 41 = 1 - 5 + 4 = 0, что делится на 120
Таким образом, база индукции верна.

Предположение индукции
Пусть для произвольного натурального числа k выполнено
k^5 - 5k^3 + 4k = 120m, где m - некоторое целое число.

Докажем, что утверждение верно и для числа k+1
(k+1)^5 - 5(k+1)^3 + 4(k+1)
= k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1 - 5k^3 - 15k^2 - 15k - 5k - 5 + 4k + 4
= k^5 + 5k^4 + 5k^3 - 5k^2 + k + 4
= k^5 - 5k^3 + 4k + 5k^4 + 5k^3 - 5k^2 + k + 4 = 120m + 5k^4 + 5k - 5k^2 + k + 4
= 120m + 5(k^4 + k - k^2) + k + 4.

Рассмотрим выражение в скобках
k^4 + k - k^2 = k^4 - k^3 + k - (k^2 - k^3) = k(k^3 - k^2 + 1 - k) = k(120m + 1 - k).

Таким образом, мы видим, что k(k^3 - k^2 + 1 - k) является произведением двух целых чисел и, соответственно, делится на 120. Следовательно, и (k+1)^5 - 5(k+1)^3 + 4(k+1) также делится на 120.

Таким образом, утверждение доказано для любого натурального числа a.