Найдите значение выражения sin^3x+cos^3x, если sinx+cosx=a

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала перепишем выражение sin^3x+cos^3x в виде (sinx+cosx)(sin^2x-sinx*cosx+cos^2x) с помощью формулы сложения кубов.

Теперь подставим a вместо sinx+cosx в этом выражении:

(sin^3x+cos^3x) = a(sin^2x - sinxcosx + cos^2x) = a[(sinx+cosx)(sinx+cosx) - sinxcosx]

Так как sinx+cosx = a, то заменим это значение в выражении:

a[(sinx+cosx)(sinx+cosx) - sinxcosx] = a[aa - sinxcosx + cosxsinx]

Так как мы знаем, что a = sinx+cosx, то:

a[aa - sinxcosx + cosxsinx] = a[aa - (sinxcosx) + (sinxcosx)]

Так как (sinxcosx) и (cosxsinx) - это одно и то же значение, то:

a[aa - (sinxcosx)] = a[a*a - (a/2)(a/2)] = a[a^2 - a^2/4] = a[3a^2/4] = 3a^3/4

Таким образом, sin^3x+cos^3x = 3a^3/4.