(sin(a/2)-cos(a/2)^2=1-sina (доказать тождество)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Используем формулу половинного угла для синуса и косинуса:

sin(a/2) = √((1 - cos(a))/2)

cos(a/2) = √((1 + cos(a))/2)

Подставляем данные выражения в левую часть уравнения:

(sin(a/2) - cos(a/2)^2 = √((1 - cos(a))/2) - (√((1 + cos(a))/2))^2
= √((1 - cos(a))/2) - (1 + cos(a))/2
= (1 - cos(a) - 1 - cos(a)) / 2
= -2cos(a) / 2
= -cos(a)

Теперь вычислим правую часть уравнения:

1 - sin(a) = 1 - sin(2(a/2))
= 1 - 2sin(a/2)cos(a/2)
= 1 - 2√((1 - cos(a))/2 √((1 + cos(a))/2)

Теперь перейдем к выражению в правой части уравнения:

(sin(a/2) - cos(a/2)^2) - (1 - sin(a)) = -cos(a) - (1 - 2√((1 - cos(a))/2 √((1 + cos(a))/2))
= -cos(a) - 1 + 2√((1 - cos(a))/2 √((1 + cos(a))/2)
= -cos(a) - 1 + 2 (1 - cos(a))/2
= -cos(a) - 1 + 1 - cos(a)
= -2cos(a)
= -cos(a)

Таким образом, мы доказали тождество sin(a/2)-cos(a/2)^2 = 1-sina.