Вычислить двойной интеграл ∫∫xy^3(5+x)dxdy D:x=-1,x=1,y=-1,y=1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления данного двойного интеграла сначала перепишем его в виде:

∫∫xy^3(5+x)dxdy = ∫∫xy^3(5+x) dxdy

Теперь вычисляем первый интеграл по x:

∫xy^3(5+x) dx = 5∫xy^3 dx + ∫x^2y^3 dx

Вычисляем первый интеграл: ∫x*y^3 dx

= y^3 * ∫x dx

= y^3 (1/2 x^2)

Теперь подставляем полученный результат обратно в первоначальное выражение:

∫xy^3(5+x) dx = 5 y^3 (1/2 x^2) + 1/3 y^3 * x^3

Теперь мы имеем выражение для первого интеграла, теперь нужно найти второй интеграл по y:

∫(5y^3/2 + y^3/3) dy

= (5/2) ∫y^3 dy + (1/3) ∫y^3 dy

= (5/2) (1/4)y^4 + (1/3) (1/4)y^4

= (5/8)y^4 + (1/12)y^4

= (40/48)y^4 + (4/48)y^4

= (44/48)y^4

= (11/12)y^4

Теперь, чтобы найти значение двойного интеграла, вычисляем значение последнего интеграла в пределах -1 до 1 по обоим переменным:

∫(11/12)y^4 dy = (11/12) * (1/5)y^5 | -1 до 1

= (11/60) - (-11/60)

= 22/60

= 11/30

Следовательно, значение данного двойного интеграла равно 11/30.