Вычислите площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями y=1-x², y=0 , x=1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=1-x², y=0, x=1, необходимо найти точки пересечения кривых.

Подставим y=0 и x=1 в уравнение y=1-x²:
0 = 1 - 1²
0 = 0

Таким образом, точка пересечения кривых имеет координаты (1, 0).

Построим график этих кривых:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x = np.linspace(-2, 2, 100)
y1 = 1 - x**2
y2 = np.zeros_like(x)
plt.plot(x, y1, label='y=1-x^2')
plt.plot(x, y2, label='y=0')
plt.axvline(x=1, color='red', linestyle='--', label='x=1')
plt.fill_between(x, y1, y2, where=(x>=1), alpha=0.5, color='gray')
plt.xlim(-2, 2)
plt.ylim(-1, 2)
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Из графика видно, что площадь трапеции будет ограничена кривыми y=1-x² и y=0, а также вертикальной прямой x=1.

Площадь трапеции можно вычислить как интеграл от y=0 до y=1-x² по x от 1 до √2:

S = ∫[1,√2] (1 - x²) dx

Вычислим данный интеграл:

S = ∫ (1 - x²) dx = x - x³/3 ∣[1,√2]
S = √2 - √2³/3 - 1 + 1/3
S = √2 - 2√2/3 + 2/3 - 1 + 1/3
S = √2 - 2√2/3 + 5/3

Ответ: S = √2 - 2√2/3 + 5/3.