В выпуклом четырехугольнике ABCD длина отрезка,соединяющего середины сторон AB и CD равна 1. Прямые BC и AD перпендикулярны. Найдите длмну отрезка,соединяющего середины диагоналей AC и BD

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим середины сторон AB и CD как M и N соответственно, а середины диагоналей AC и BD как P и Q. Так как прямые BC и AD перпендикулярны, то MN является диаметром описанной окружности четырехугольника ABCD.

Известно, что в описанном четырехугольнике длины диагоналей связаны со сторонами как ADBC = ABCD. Так как длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и CD, равна 1, то AMMB = 1/4, а CNND = 1/4.

Таким образом, прямоугольный треугольник AMN с гипотенузой MN и катетом AM = 1/2 можно рассмотреть как треугольник с катетами AM и MN, равными 1/2 и AD/2 соответственно. По теореме Пифагора, получаем:

(MN)^2 = (AM)^2 + (AD)^2/4
1 = 1/4 + (AD)^2/4
(AD)^2 = 3

Аналогично, для прямоугольного треугольника BNC, где BN = 1/2, получаем:

(BN)^2 = (CN)^2 + (CD)^2/4
1 = 1/4 + (CD)^2/4
(CD)^2 = 3

Теперь, по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника MNQ, где MQ = 1/2, получаем:

(MN)^2 = (MQ)^2 + (NQ)^2
1 = 1/4 + (NQ)^2
(NQ)^2 = 3/4

Таким образом, длина отрезка, соединяющего середины диагоналей AC и BD, равна корню из 3/4, что равно 1/√4 = 1/2.