Для исследования функции f(x) = x^2 * e^(1/x) сначала найдем ее производную и производную второго порядка:

f'(x) = 2x e^(1/x) - e^(1/x) / x^2
f''(x) = 2e^(1/x) - 4x e^(1/x) + 2e^(1/x) / x^3

Теперь найдем точки экстремума, для этого приравняем производную к нулю и найдем значения x:

2x e^(1/x) - e^(1/x) / x^2 = 0
2x e^(1/x) = e^(1/x) / x^2
2x = 1/x^2
2x^3 = 1
x = (1/2)^(1/3)
x = 1/√2

Подставляем найденное значение x обратно в функцию, чтобы найти соответствующее значение y:

f(1/√2) = (1/√2)^2 e^(√2)
f(1/√2) = 1/2 e^(√2)

Таким образом, точка экстремума функции f(x) равна (1/√2, 1/2 * e^(√2)).

Далее исследуем функцию на монотонность. Для этого рассмотрим знаки второй производной в окрестности точки экстремума:

f''(x) = 2e^(1/x) - 4x e^(1/x) + 2e^(1/x) / x^3
f''(1/√2) = 2e^(√2) - 4/√2 e^(√2) + 2e^(√2) / (1/√2)^3
f''(1/√2) = 2e^(√2) - 2√2 e^(√2) + 4e^(√2) / 2
f''(1/√2) = 2e^(√2) - 2√2 e^(√2) + 2e^(√2)
f''(1/√2) = 4e^(√2) - 2√2 * e^(√2)

Таким образом, f''(1/√2) > 0, следовательно, функция убывает слева от точки экстремума и возрастает справа от нее.

Изучив все полученные данные, можно сделать вывод, что функция f(x) = x^2 e^(1/x) имеет точку экстремума в точке (1/√2, 1/2 e^(√2)), при этом она убывает слева от экстремума и возрастает справа от него.