Дана функция у=-(3х-1)^5/3+20х 1). исследуйте функцию на монотонность и экстремумы; 2). Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на полуинтервале (1;3].

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Для исследования функции на монотонность и нахождения экстремумов найдем производные функции.

y = -(3x - 1)^(5/3) + 20x

y' = -5(3x - 1)^(2/3) * 3 + 20

y' = -15(3x - 1)^(2/3) + 20

Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю и найдем значения x:

-15(3x - 1)^(2/3) + 20 = 0
-15(3x - 1)^(2/3) = -20
(3x - 1)^(2/3) = 20/15
(3x - 1)^(2/3) = 4/3
3x - 1 = (4/3)^(3/2)
3x - 1 = 8/3
3x = 11/3
x = 11/9

Теперь определим монотонность функции, используя вторую производную:

y'' = -10(3x - 1)^(-1/3)

Подставим найденное значение x = 11/9 во вторую производную:

y'' = -10(3 * 11/9 - 1)^(-1/3)
y'' = -10(33/9 - 1)^(-1/3)
y'' = -10(30/9)^(-1/3)
y'' = -10(10/3)^(-1/3)
y'' = -10(3/10)^(1/3)
y'' = -10(3√3/10)
y'' = -3√3

Так как вторая производная отрицательна, то функция убывает при x = 11/9 (точка экстремума).

2) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на полуинтервале (1;3]:

y(1) = -(31 - 1)^(5/3) + 201
y(1) = -2^(5/3) + 20
y(1) ≈ 17.76

y(3) = -(33 - 1)^(5/3) + 203
y(3) = -8^(5/3) + 60
y(3) ≈ 42.13

Наибольшее значение функции на полуинтервале (1;3] - примерно 42.13,
Наименьшее значение функции на полуинтервале (1;3] - примерно 17.76.