Решите уравнение cosx-2sin2x*sinx-4cos2x-4sin^2x=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала упростим данное уравнение:

cosx - 2sin2x*sinx - 4cos2x - 4sin^2x = 0
cosx - 2sin2x(sinx + 2) - 4(cos^2x - sin^2x) = 0
cosx - 2sin2x(sinx + 2) - 4cos2x + 4sin^2x = 0
cosx - 2sin2xsinx - 4cos2x + 4sin^2x - 4sin2x = 0
cosx - 2sinx(2sinx + 1) - 4(2cos^2x - 1) = 0
cosx - 4sinx^2 - 2sinx - 8cos^2x + 4 = 0
cosx - 4sinx^2 - 2sinx - 8(1 - sin^2x) + 4 = 0
cosx - 4sinx^2 - 2sinx + 8sin^2x - 4 = 0
cosx + 4sin^2x - 4sinx^2 - 2sinx - 4 = 0
cosx + 4sin^2x - 4sinx(x + 1) - 4 = 0
cosx + 4(sin^2x - sinx(x + 1)) - 4 = 0
cosx + 4(sinx - 1)(sinx + 1) - 4 = 0
cosx + 4(2sin(x/2)cos(x/2) - 2sin(x/2)cos(x/2))(2sin(x/2)cos(x/2) + 2sin(x/2)cos(x/2)) - 4 = 0
cosx - 4sin(x/2)cos(x/2) - 4 = 0

Таким образом, получаем уравнение:

cosx - 4sin(x/2)cos(x/2) - 4 = 0

Полученное уравнение сводится к квадратному уравнению для выражения sin(x/2)cos(x/2) через cos(x) и sin(x):

cos(x) - 4sin(x/2)cos(x/2) - 4 = 0
cos(x) - 2sin(x) - 4 = 0

Преобразуем квадратное уравнение:

cos(x) = 2sin(x) + 4
cos(x) = 2sqrt(1-cos^2(x)) + 4
cos^2(x) = 4(cos(x) - 2)^2
cos^2(x) = 4cos^2(x) - 16cos(x) + 16
3cos^2(x) - 16cos(x) + 16 = 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение для cos(x):

cos(x) = [16 ± sqrt((16)^2 - 4316)] / 2*3
cos(x) = [16 ± sqrt(256 - 192)] / 6
cos(x) = [16 ± sqrt(64)] / 6

Таким образом, решением уравнения cosx - 2sin2x*sinx - 4cos2x - 4sin^2x = 0 являются значения x, соответствующие cos(x) = (8±4)/6:

cos(x) = 2/3 или cos(x) = 10/3

Поскольку косинус не может превышать по модулю 1, то уравнение не имеет действительных корней.