1) Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1 и М2, параллельно вектору а=(1,2,1), если М1(2,2,1), М2(3,3,2)2) Написать канонические и параметрические уравнения прямой заданной общими уравнениями: 4х+2у+3z+2=0; 4x+3y+4z+1=0
1) Поскольку плоскость параллельна вектору а=(1,2,1), то нормаль к этой плоскости будет равна вектору а. Найдем уравнение плоскости с нормалью а и проходящей через точку М1(2,2,1).
Уравнение плоскости имеет вид a(x - x1) + b(y - y1) + c(z - z1) = 0 где (a, b, c) - координаты нормального вектора к плоскости (x1, y1, z1) - координаты точки, через которую проходит плоскость.
Итак, подставляем данные 1(x - 2) + 2(y - 2) + 1*(z - 1) = 0 x - 2 + 2y - 4 + z - 1 = 0 x + 2y + z - 7 = 0.
Ответ: x + 2y + z - 7 = 0.
2) Каноническое уравнение прямой x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct где (x0, y0, z0) - координаты точки, через которую проходит прямая, а, b, c - направляющие косинусы прямой.
Из общих уравнений прямой 4x + 2y + 3z + 2 = 0 4x + 3y + 4z + 1 = 0.
Находим направляющие косинусы a = 4, b = 2, c = 3 (или a = 4/9, b = -2/9, c = 3/9).
Теперь подставляем данные в каноническое уравнение x = x0 + 4t y = y0 + 2t z = z0 + 3t.
Параметрическое уравнение прямой x = x0 + 4t y = y0 + 2t z = z0 + 3t где t - параметр.
1) Поскольку плоскость параллельна вектору а=(1,2,1), то нормаль к этой плоскости будет равна вектору а. Найдем уравнение плоскости с нормалью а и проходящей через точку М1(2,2,1).
Уравнение плоскости имеет вид
a(x - x1) + b(y - y1) + c(z - z1) = 0
где (a, b, c) - координаты нормального вектора к плоскости
(x1, y1, z1) - координаты точки, через которую проходит плоскость.
Итак, подставляем данные
1(x - 2) + 2(y - 2) + 1*(z - 1) = 0
x - 2 + 2y - 4 + z - 1 = 0
x + 2y + z - 7 = 0.
Ответ: x + 2y + z - 7 = 0.
2) Каноническое уравнение прямой
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
где (x0, y0, z0) - координаты точки, через которую проходит прямая, а, b, c - направляющие косинусы прямой.
Из общих уравнений прямой
4x + 2y + 3z + 2 = 0
4x + 3y + 4z + 1 = 0.
Находим направляющие косинусы
a = 4, b = 2, c = 3 (или a = 4/9, b = -2/9, c = 3/9).
Теперь подставляем данные в каноническое уравнение
x = x0 + 4t
y = y0 + 2t
z = z0 + 3t.
Параметрическое уравнение прямой
x = x0 + 4t
y = y0 + 2t
z = z0 + 3t
где t - параметр.
Ответ: x = x0 + 4t, y = y0 + 2t, z = z0 + 3t.