Определить градиент и производную ф-ии Определить градиент и производную заданной функции z = xe^y в т. M0(2,2) в направлении линии xy = 4 в сторону возрастания аргумента x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем градиент функции z = xe^y:

∇z = (∂z/∂x, ∂z/∂y)
∇z = (e^y, xe^y)

Теперь найдем производную функции по направлению линии xy = 4 в сторону возрастания аргумента x. Для этого сначала найдем уравнение этой линии.

Так как xy = 4 и M0(2,2), то y = 4/x. Тогда производная функции по направлению этой линии будет равна:

dz/dt = ∇z dr/dt = (∂z/∂x, ∂z/∂y) (dx/dt, dy/dt)
dz/dt = (e^(4/x), 2e^2) * (1, -4/x^2)
dz/dt = e^(4/x) - 8e^2/x

Подставим x = 2 в это выражение:

dz/dt(2) = e^(4/2) - 8e^2/2
dz/dt(2) = e^2 - 4e^2
dz/dt(2) = -3e^2

Таким образом, производная функции z = xe^y в точке M0(2,2) по направлению линии xy = 4 в сторону возрастания аргумента x равна -3e^2.