Найти базис пространства векторов высоты 5 Рассмотрим пространство векторов высоты 5 у которых сумма координат с четными номерами равна сумме координат
с нечетными номерами и при этом третья координата вдвое больше пятой. Найдите какой-нибудь его базис, состоящий
из векторов с ненулевыми координатами.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения базиса данного пространства векторов будем рассматривать условия, описанные в задаче.

Пусть вектор задается следующим образом:
[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \ x_5 \end{pmatrix} ]

Сумма координат с четными номерами равна сумме координат с нечетными номерами:
[ x_1 + x_3 + x_5 = x_2 + x_4 ]

Третья координата вдвое больше пятой:
[ x_3 = 2x_5 ]

Теперь рассмотрим два произвольных вектора, удовлетворяющих данным условиям:
[ \mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} ]

Проверим их линейную независимость. Для этого составим линейную комбинацию:
[ c_1 \mathbf{v_1} + c_2 \mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} c_1 \ c_2 \ 2c_1 + c_2 \ c_1 \ c_2 \end{pmatrix} ]

Из условия линейной независимости векторов следует, что этот вектор будет нулевым только при ( c_1 = c_2 = 0 ), что и гарантирует линейную независимость и базис данного пространства векторов.

Таким образом, найденный базис для пространства векторов высоты 5 удовлетворяет условиям задачи и состоит из векторов:
[ \mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} ]