Докажите, что любой многочлен степени не больше 2n − 1 есть сумма двух многочленов степени не больше 2n − 1, один из которых делится на (x − 1)^n, а другой на (x + 1)^n

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что многочлен степени не больше 2n - 1 имеет следующий вид:

f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + a_{2n - 1}*x^{2n - 1}.

Теперь представим его в виде суммы двух многочленов: g(x) и h(x). Пусть g(x) делится на (x - 1)^n, а h(x) делится на (x + 1)^n.

g(x) = b0 + b1x + b2x^2 + ... + b{n-1}x^{n-1}(x-1)^n
h(x) = c0 + c1x + c2x^2 + ... + c{n-1}x^{n-1}(x+1)^n

Заметим, что степень каждого из этих многочленов не превышает 2n - 1.

Теперь найдем такие коэффициенты b_i и c_i, чтобы сумма g(x) и h(x) была равна f(x):

f(x) = g(x) + h(x)
a0 + a1x + a2x^2 + ... + a{2n - 1}x^{2n - 1} =
= b0 + b1x + b2*x^2 + ... + b{n-1}x^{n-1}(x-1)^n + c0 + c1x + c2x^2 + ... + c_{n-1}x^{n-1}(x+1)^n

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему уравнений, решение которой даст нам коэффициенты b_i и c_i:

b{n-1} = a{2n-1}
b{n-2} - (n-1)*b{n-1} = a_{2n-2}
...
b0 - (n-1)b1 = an
c{n-1} = a_{2n-1}
c{n-2} + (n-1)c{n-1} = a{2n-2}
...
c0 + (n-1)*c1 = a_n

Таким образом, мы доказали, что любой многочлен степени не больше 2n - 1 можно представить в виде суммы двух многочленов, один из которых делится на (x - 1)^n, а другой на (x + 1)^n.