Как решить интеграл от 1/(x+sqrt(x^2-x+4)?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы решить данный интеграл, можно воспользоваться методом подстановки.

Сделаем замену переменной:
Пусть t = x + sqrt(x^2 - x + 4).
Тогда x = t - sqrt(t^2 - 4), и получаем, что dt/dx = 1 - (t / sqrt(t^2 - 4)).

Подставим полученные выражения в интеграл:
∫(1 / (x + sqrt(x^2 - x + 4))) dx = ∫(1 / t) * (1 - (t / sqrt(t^2 - 4))) dt

Разложим дробь:
∫(1/t) * (1 - (t / sqrt(t^2 - 4))) dt = ∫(1/t) dt - ∫(t / (sqrt(t^2 - 4))) dt

Проинтегрируем обе части отдельно:
∫(1/t) dt = ln|t|,
∫(t / (sqrt(t^2 - 4))) dt = sqrt(t^2 - 4).

Таким образом, интеграл от 1/(x+sqrt(x^2-x+4) равен ln|x + sqrt(x^2 - x + 4)| + sqrt((x + sqrt(x^2 - x + 4))^2 - 4) + С, где С - постоянная интеграции.