Задача по математике (Найти массу тела, ограниченного условиями) Найти массу тела, ограниченного условиями x^2+y^2+z^2<=c^2, x>=0, y>=0, z>=0, x/a+y/b ≤ 1 (a < c, b < c), если плотность тела в каждой его точке P(x, y, z) пропорциональна аппликате, а максимальное значение плотности равно ρ0.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное пространство можем разделить на восемь октантов, где каждый октант будет симметричен относительно всех осей координат.
Поскольку значение плотности в каждой точке пропорционально аппликате, то плотность можно выразить как ρ(x, y, z) = kx, где k - коэффициент пропорциональности.
Также, учитывая то, что максимальное значение плотности равно ρ0, получаем, что k*c = ρ0, откуда следует, что k = ρ0/c.

Масса тела будет равна:
m = ∫∫∫ ρ(x, y, z) dV,
где dV = dx dy dz.

Выразим пределы интегрирования для x, y и z из условий задачи:
0 <= x <= c,
0 <= y <= √(c^2 - x^2),
0 <= z <= √(c^2 - x^2).

Тогда интеграл для массы тела примет вид:
m = ∫[0,c] ∫[0,√(c^2 - x^2)] ∫[0,√(c^2 - x^2)] ρ(x, y, z) dz dy dx
m = ∫[0,c] ∫[0,√(c^2 - x^2)] ρ0/c √(c^2 - x^2) dy dx
m = ∫[0,c] ρ0/c √(c^2 - x^2)√(c^2 - x^2) dx
m = ∫[0,c] ρ0/c (c^2 - x^2) dx
m = ρ0/c ∫[0,c] (c^2 - x^2) dx
m = ρ0/c (c^3 - c^3/3)
m = 2ρ0c^2/3.

Итак, масса тела, ограниченного указанными условиями, равна 2ρ0c^2/3.