Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x=5cos(t) y=5sin(t)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями x=5cos(t) y=5sin(t), где t принадлежит отрезку [0, 2π], необходимо воспользоваться формулой для вычисления площади криволинейной трапеции.

Площадь криволинейной трапеции S вычисляется по формуле:
S = ∫[a,b] yx' - xy' dt,

где a и b - пределы изменения параметра t.

В данном случае у нас есть уравнения:
x=5cos(t),
y=5sin(t).

Вычислим производные:
x'= -5sin(t),
y'= 5cos(t).

Подставим выражения для x, y, x' и y' в формулу:
S = ∫[0,2π] 5sin(t)(-5sin(t)) - 5cos(t)5cos(t) dt,
S = ∫[0,2π] -25sin^2(t) -25cos^2(t) dt,
S = -25∫[0,2π] (sin^2(t) + cos^2(t)) dt,
S = -25∫[0,2π] 1 dt,
S = -25 t ∣[0,2π]
S = -25 (2π - 0)

S = -50π

Поэтому площадь фигуры, ограниченной линиями x=5cos(t), y=5sin(t) равна -50π.