Математика! Найти условные экстремумы функции Z=7x^2+4xy+4y^2 при x^2+y^2=1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения условных экстремумов данной функции, воспользуемся методом множителей Лагранжа.

Сначала запишем уравнение ограничения
x^2 + y^2 = 1

Теперь запишем функцию Z с множителем Лагранжа λ
L(x, y, λ) = 7x^2 + 4xy + 4y^2 + λ(x^2 + y^2 - 1)

Найдем частные производные по x, y и λ
∂L/∂x = 14x + 4y + 2λ
∂L/∂y = 4x + 8y + 2λ
∂L/∂λ = x^2 + y^2 - 1

Теперь приравняем производные к нулю и решим систему уравнений
14x + 4y + 2λx =
4x + 8y + 2λy =
x^2 + y^2 = 1

Из первого уравнения получаем
x(14 + 2λ) + 4y =
x = -4y / (14 + 2λ) (*)

Из второго уравнения получаем
y(4 + 2λ) + 8y =
y = 0 или λ = -2

Если y = 0, то x = ±
Если λ = -2, то из (*) получаем
x = ±1

Итак, найденные точки, в которых может находиться условный экстремум: (1, 0), (-1, 0), (0, 1), (0, -1).

Теперь найдем значение функции в этих точках
Z(1, 0) = 71^2 + 410 + 40^2 =
Z(-1, 0) = 7(-1)^2 + 4(-1)0 + 40^2 =
Z(0, 1) = 70^2 + 401 + 41^2 =
Z(0, -1) = 70^2 + 40(-1) + 4(-1)^2 = 4

Значит, минимальное значение функции Z равно 4, а максимальное значение функции Z равно 7.