Использование дифференциального исчисления функций одной переменной в практических задачах на экстремум. Сечение автомобильного тоннеля имеет форму прямоугольника, завершённого полукругом. Периметр сечения 22 м. При какой высоте тоннеля площадь сечения будет наибольшей?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть высота прямоугольной части сечения тоннеля равна h, тогда ширина прямоугольной части равна (22-2h)/2 = 11-h. Таким образом, площадь прямоугольной части равна S1 = h(11-h).

Площадь полукруга радиусом h равна S2 = πh^2/2.

Таким образом, общая площадь сечения тоннеля равна S = S1 + S2 = h(11-h) + πh^2/2.

Чтобы найти точку экстремума, нужно найти производную по высоте и приравнять её к нулю:

dS/dh = 11 - 2h + πh = 0.

11 + (π-2)h = 0.

h = 11 / (2-π) ≈ 4.931 м.

Проверим, что это точка минимума, иначе это будет точка максимума. Для этого возьмем вторую производную:

d^2S/dh^2 = -2 + π.

При h = 4.931 м имеем, что d^2S/dh^2 ≈ 3.14, что больше нуля, следовательно, это точка минимума.

Таким образом, при высоте тоннеля около 4.931 м площадь сечения будет наибольшей.