Решите систему неравенств: { –x² + 4x + 5 > 0, 3+2(x-3)≤x.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Первое неравенство: -x² + 4x + 5 > 0

Сначала найдем корни уравнения -x² + 4x + 5 = 0:

-x² + 4x + 5 = 0

D = 4² - 4(-1)5 = 16 + 20 = 36

Тогда x1,2 = (-4 ± √36) / -2 = (4 ± 6) / -2

x1 = (4 + 6) / -2 = 10 / -2 = -5

x2 = (4 - 6) / -2 = -2 / -2 = 1

Таким образом, уравнение имеет корни x1 = -5 и x2 = 1. Построим таблицу знаков:

x | -∞ | -5 | 1 | +
--+-----+-----+-----+----
f | + | - | + | +

Отсюда видим, что неравенство -x² + 4x + 5 > 0 выполнено на интервалах (-∞, -5) и (1, +∞). То есть:

x < -5 или x > 1

2) Второе неравенство: 3 + 2(x-3) ≤ x

Раскроем скобки и преобразуем неравенство:

3 + 2x - 6 ≤ x

2x - 3 ≤ x

2x - x ≤ 3

x ≤ 3

Таким образом, второе неравенство выполняется при x ≤ 3.

Итого, система неравенств будет иметь вид:

x < -5 или x > 1

x ≤ 3