Как доказать это Г (1/2)=√π? Где Г - Г (a)=∫(0;∞) x^(a-1)e^(-x) dx

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства равенства Г(1/2) = √π нам необходимо найти значение интеграла от функции Г(x)= ∫(0;∞) x^(x-1)e^(-x) dx при a = 1/2.

Заметим, что при a = 1/2 функция Г(a) принимает вид:
Г(1/2) = ∫(0;∞) x^(-1/2)e^(-x) dx

Для решения данного интеграла воспользуемся формулой Гамма-функции:
Γ(a) = ∫(0;∞) x^(a-1)e^(-x) dx

Для того чтобы свести интеграл к виду Гамма-функции, выполним замену переменной:
x = t^2, dx = 2t dt

Тогда интеграл примет вид:
Г(1/2) = 2∫(0;∞) t^(-1)e^(-t^2) dt

Используя определение Гамма-функции и свойство:
Γ(a)Γ(1-a) = π / sin(πa)

Получим равенство:
Γ(1/2)Γ(1/2) = π / sin(π/2)

Сокращаем Г(1/2)Γ(1/2) = π

Из свойства Гамма-функции Γ(1/2) = √π

Следовательно, Г(1/2) = √π.