Найти наибольшее и наименьшее значении функции z (x:y) в области D.
z = x^2 + 2xy − y^2 − 4x; D : y = x + 1, x = 3, y = 0.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции z(x, y) в области D необходимо вычислить значение функции на каждой из граничных точек и в вершинах области D, а также в критических точках внутри области D.

Вычислим значение функции z(x, y) в каждой из граничных точек:

В точке (3, 4) (точка пересечения y = x + 1 и x = 3):
z(3, 4) = 3^2 + 234 - 4^2 - 4*3 = 9 + 24 - 16 - 12 = 5В точке (3, 0) (точка пересечения x = 3 и y = 0):
z(3, 0) = 3^2 + 230 - 0^2 - 4*3 = 9 + 0 - 0 - 12 = -3В точке (2, 3) (точка пересечения y = x + 1 и y = 3):
z(2, 3) = 2^2 + 223 - 3^2 - 4*2 = 4 + 12 - 9 - 8 = -1

Найдем критическую точку внутри области D, вычислив градиент функции z(x, y) и приравняв его к нулю:
∂z/∂x = 2x + 2y - 4 = 0
∂z/∂y = 2x - 2y = 0
Решая эту систему уравнений, получаем x = 1, y = 1.
Таким образом, критическая точка внутри области D равна (1, 1):
z(1, 1) = 1^2 + 211 - 1^2 - 4*1 = 1 + 2 - 1 - 4 = -2

Таким образом, наибольшее значение функции z(x, y) в области D равно 5 (при x = 3, y = 4), наименьшее значение равно -3 (при x = 3, y = 0), и критическое значение равно -2 (при x = 1, y = 1).