Сумма двух целых чисел равна S. Маша умножила левое число на целое число α, правое - на целое число β, сложила эти произведения и обнаружила, что полученная сумма делится на S. Алеша, наоборот, левое число умножил на β, а правое - на α. Докажите, что и у него аналогичная сумма разделится на S.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть заданные числа равны a и b, тогда:

Маша получила:
αa + βb = Sk

Алеша получил:
βa + αb = Sj

где k и j - целые числа.

Вычтем из первого уравнения второе:

(αa + βb) - (βa + αb) = Sk - Sj
αa - βa + βb - αb = S(k - j)
(a(α - β) + b(β - α) = S(k - j)

Так как (α - β) и (β - α) имеют одинаковые знаки, то их сумма равна нулю. Следовательно, (αa + βb) - (βa + αb) делится на S. Что и требовалось доказать.