Как доказать, что 1^3+2^3+3^3+...+n^3=(n^2(n+1)^2)/4?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство данного утверждения можно провести с помощью метода математической индукции.

База индукции: Для n=1 утверждение верно, так как 1^3 = 1 и (1^2*(1+1)^2)/4 = 1.

Предположение индукции: Предположим, что утверждение верно для n=k, то есть сумма 1^3 + 2^3 + ... + k^3 равна k^2(k+1)^2/4.

Индукционный переход: Докажем, что утверждение верно для n=k+1. Для этого добавим (k+1)^3 к сумме и преобразуем выражение:

1^3 + 2^3 + ... + (k+1)^3 = k^2(k+1)^2/4 + (k+1)^3
= (k^2(k+1)^2 + 4(k+1)^3)/4
= ((k+1)^2(k+2)^2)/4

Таким образом, мы доказали, что утверждение верно для любого натурального числа n.