Сумма первых 25 членов арифметической прогрессии равна 50, а сумма её первых 50 членов равна 25. Найдите сумму первых 75 членов прогрессии.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения суммы первых 75 членов арифметической прогрессии воспользуемся формулой для суммы n членов такой прогрессии:

S = n * (a1 + an) / 2,

где S - сумма n членов прогрессии, a1 - первый член прогрессии, an - n-й член прогрессии.

Из условия задачи у нас уже есть информация о суммах первых 25 и 50 членов прогрессии. Пусть сумма первых 25 членов равна S25 = 50, а сумма первых 50 членов равна S50 = 25. Тогда:

S25 = 25 (a1 + a25) / 2 = 50,
S50 = 50 (a1 + a50) / 2 = 25.

Подставим данные значения в формулы:

a1 + a25 = 4,
a1 + a50 = 1.

Выразим a50 через a25: a50 = a1 + 25d, где d - разность прогрессии.

Подставим это во второе уравнение:

a1 + a1 + 25d = 1,
2a1 + 25d = 1.

Теперь выразим a1 через d: a1 = -25d + 1.

Теперь найдем сумму первых 75 членов прогрессии. По формуле:

S75 = 75 (a1 + a75) / 2 = 75 (a1 + (a1 + 74d)) / 2
= 75 (2a1 + 74d) / 2
= 75 ((-50d + 1) + (-50d + 1 + 74d)) / 2
= 75 (-100d + 2) / 2
= 75 2 / 2
= 75.

Итак, сумма первых 75 членов арифметической прогрессии равна 75.