Доказать что 5+5в квадрате+5 в кубе+...+5в 2006 степени делится на 6

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Мы выражаем общую сумму как
5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^2006

Это можно переписать как
5(1 + 5 + 5^2 + ... + 5^2005)

Мы знаем, что сумма убывающей геометрической прогрессии a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1) равна (a * (1 - r^n)) / (1 - r), где a - первый элемент, r - знаменатель, n - количество элементов.

Применяя эту формулу для нашей суммы, получаем
5 ((1 - 5^2006) / (1 - 5)
= 5 (-5^2006) / -
= 5 * 5^2006 /
= 5^(2007) / 4

Теперь докажем, что данная сумма делится на 6
5^(2007) / 4 = (5^4)^501 5^3 / 4 = (625^501) 125 / 4

Мы видим, что числитель делится на 625 и 5^3 = 125, следовательно, сумма делится на 6
Таким образом, 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^2006 делится на 6.