Докажите,что 2а+1/а^2>3 при 0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного неравенства, будем исходить из того, что а > 0.

Умножим обе части неравенства на a^2, чтобы избавиться от знаменателя:
2a^3 + 1 > 3a^2

Выразим все слагаемые в левой части через a^2:
2a^3 - 3a^2 + a^2 + 1 > 0
a^2(2a - 3) + 1 > 0

Теперь рассмотрим два случая:

1) Если 0 < a < 1:
Так как а > 0, то a^2 > 0. При этом в данном промежутке 2a < 2, а значит 2a - 3 < -1. Исходя из этого, a^2(2a - 3) < 0. Так как к этому отрицательному выражению добавляем положительное число 1, то получаем, что выражение вида a^2(2a - 3) + 1 > 0, что означает выполнение неравенства.

2) Если a > 1:
Так как а > 0, то a^2 > 1. При этом в данном промежутке 2a > 2, а значит 2a - 3 > -1. Исходя из этого, a^2(2a - 3) > 0. Так как к этому положительному выражению добавляем положительное число 1, то получаем, что выражение вида a^2(2a - 3) + 1 > 0, что означает выполнение неравенства.

Таким образом, неравенство 2a + 1/a^2 > 3 выполняется при a > 0.