При каком значении параметра a неравенство ax^2-(18+2a^2)*x+36a больше нуля не имеет решений?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы неравенство не имело решений, дискриминант должен быть меньше нуля.

Дискриминант для уравнения квадратного трехчлена (ax^2-(18+2a^2)x+36a) равен (D = (18+2a^2)^2 - 4a \cdot 36a).

Необходимо решить неравенство (D < 0):

[(18+2a^2)^2 - 4a \cdot 36a < 0]

Раскроем скобки и упростим:

[324 + 72a^2 + 4a^4 - 144a < 0]

[4a^4 + 72a^2 - 144a + 324 < 0]

Данный квадратный трехчлен имеет четыре корня, и чтобы неравенство было выполнено, нужно чтобы он не принимал положительные значения. Таким образом, все корни должны быть отрицательными.

Теперь можем определить необходимое значение параметра (a), при котором уравнение не будет иметь решений:

[a \in \left(-\infty, \frac{-9 - 3 \sqrt{13}}{2}\right) \cup \left(\frac{-9 + 3 \sqrt{13}}{2}, \infty\right)]