Исследование функции с помощью производной f(x)=x^4-4x^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для исследования функции f(x)=x^4-4x^2 на экстремумы и выпуклость/вогнутость рассмотрим ее производную.

f'(x) = 4x^3 - 8x

Найдем точки, в которых производная равна нулю:

4x^3 - 8x =
4x(x^2 - 2) =
x = 0, x = ±√2

Найдем значения функции в найденных точках
f(0) =
f(√2) = (√2)^4 - 4(√2)^2 =
f(-√2) = (-√2)^4 - 4(-√2)^2 = 2

Подставим найденные точки во вторую производную для определения выпуклости/вогнутости:

f''(x) = 12x^2 - 8

Выберем точки, в которых вторая производная положительна (выпуклая)
f''(√2) = 12(√2)^2 - 8 = 1
f''(-√2) = 12(-√2)^2 - 8 = 16

Из анализа производной и второй производной следует, что функция f(x)=x^4-4x^2 имеет локальный минимум в точке x=0, а также является выпуклой на интервале (-∞, -√2) и (0, √2), и вогнутой на интервале (-√2, 0) и (√2, +∞).