(cos^2a - cos^2b) = (cos a + cos b)(cos a - cos b) = 2sin(a + b)sin(a - b) sin^2a = 1 - cos^2a => cos^2a = 1 - sin^2a
Тогда правую часть равенства можно переписать:
2sin(a + b)sin(a - b) = 2sin(a + b)(1 - sin(a - b)) = 2sin(a + b) - 2sin(a + b)sin(a - b) = 2(sin a cos b + cos a sin b) - 2sin(a + b)sin(a - b) = 2sin a cos b + 2cos a sin b - 2sin^2a = 2sin a cos b + 2cos a sin b - 2(1 - cos^2a) = 2sin a cos b + 2cos a sin b - 2 + 2cos^2a = 2sin a cos b + 2cos a sin b - 2 + 2(1 - sin^2a) = 2sin a cos b + 2cos a sin b - 2 + 2 - 2sin^2a = 2sin a cos b + 2cos a sin b - 2sin a = 2cos a sin b - 2sin a = 2sin b - 2sin a = 2(sin b - sin a) = 2(2sin((b - a)/2)cos((b + a)/2)) = 4sin((b - a)/2)cos((b + a)/2)
ctg^2a - ctg^2b = (cos^2a - cos^2b) / sin^2a
Преобразуем правую часть равенства:
(cos^2a - cos^2b) = (cos a + cos b)(cos a - cos b) = 2sin(a + b)sin(a - b)
sin^2a = 1 - cos^2a => cos^2a = 1 - sin^2a
Тогда правую часть равенства можно переписать:
2sin(a + b)sin(a - b) = 2sin(a + b)(1 - sin(a - b)) = 2sin(a + b) - 2sin(a + b)sin(a - b) = 2(sin a cos b + cos a sin b) - 2sin(a + b)sin(a - b) = 2sin a cos b + 2cos a sin b - 2sin^2a = 2sin a cos b + 2cos a sin b - 2(1 - cos^2a) = 2sin a cos b + 2cos a sin b - 2 + 2cos^2a = 2sin a cos b + 2cos a sin b - 2 + 2(1 - sin^2a) = 2sin a cos b + 2cos a sin b - 2 + 2 - 2sin^2a = 2sin a cos b + 2cos a sin b - 2sin a = 2cos a sin b - 2sin a = 2sin b - 2sin a = 2(sin b - sin a) = 2(2sin((b - a)/2)cos((b + a)/2)) = 4sin((b - a)/2)cos((b + a)/2)
Для этого преобразуем левую часть:cos4a - sin4a = (cos ^2(2a) - sin^2(2a)) = 2cos^2(2a) - 1 - (2sin^2(2a)) = 2cos(2a)^2 - 1 - 2sin(2a)^2 = 2(1 - 2sin^2(2a)) - 1 - 2sin^2(2a) = 2 - 4sin^2(2a) - 1 - 2sin^2(2a) = 2 - 5sin^2(2a)
Теперь рассмотрим правую часть уравнения:
ctg(2a) = 1/tg(2a) = cos(2a)/sin(2a) = 2cos(2a)/2sin(2a) = 2cos(2a)/sin(2a)
Подставим это значение в левую часть:
2cos(2a)/sin(2a) = 2 - 5sin^2(2a)
2cos(2a) = (2 - 5sin^2(2a))sin(2a)
2 = (2 - 5sin^2(2a))tg(2a)
2 = 2tg(2a) - 5sin^2(2a)tg(2a)
2 = 2tg(2a) - 5tg(2a)sin^2(2a)
2 = tg(2a)(2 - 5sin^2(2a))
tg(2a)(2 - 5sin^2(2a)) = 2
Таким образом, доказано.
sin2a = 2sin(a)cos(a) = 2(sin(a/2 + cos(a/2))(cos(a/2)) = 2sin(a/2)cos(a/2) + 2cos^2(a/2) = 2sin(a/2)cos(a/2) + 2(1 - sin^2(a/2)) = 2sin(a/2)cos(a/2) + 2 - 2sin^2(a/2) = 2sin(a/2)cos(a/2) + 2(1 - cos^2(a/2)) = 2sin(a/2)cos(a/2) + 2 - 2cos^2(a/2)
Явное выражение sin a/2 и cos a/2 отсутствует, поэтому упрощение дальше невозможно.