Решить дифференциальное уравнение (√xy+√x)y'-7*y=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано дифференциальное уравнение:

(√xy + √x)y' - 7y = 0

Для решения данного уравнения сделаем замену:

z = √x

Тогда x = z^2 и y = w(z)

Найдем производные по z от x и y:

dx/dz = 2z
dy/dz = w'(z)

Теперь подставим наши замены в исходное уравнение:

(√xy + √x)dy/dz - 7y = 0
(zy + z)*w'(z) - 7w(z) = 0
zw'(z) + zw'(z) - 7w(z) = 0

Упростим уравнение:

2zw'(z) - 7w(z) = 0
2w'(z)/w(z) = 7/z

Интегрируем это уравнение:

2ln|w(z)| = 7ln|z| + C
ln|w(z)^2| = ln|z^7| + C
w(z)^2 = C*z^7

Подставим обратно значения для w(z) и z:

y = w(z) = √x C √x^7
y = C*x^4

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

y = C*x^4, где C - произвольная постоянная.