Решение интегралов (высшая математика) Int(2+sqrt(3x^2-x^4))/(sqrt(3-x^2))

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала преобразуем выражение под интегралом:

(2+sqrt(3x^2-x^4))/(sqrt(3-x^2)) = ((2+sqrt(3x^2-x^4))/(sqrt(3-x^2))) * ((sqrt(3-x^2))/(sqrt(3-x^2)))
= (2(sqrt(3-x^2))/sqrt(3-x^2) + (3x^2-x^4)/sqrt(3-x^2))
= 2 + 3x^2/sqrt(3-x^2) - x^4/sqrt(3-x^2)

Теперь подставляем полученное выражение обратно в исходный интеграл:

Int(2+sqrt(3x^2-x^4))/(sqrt(3-x^2)) dx = Int(2 + 3x^2/sqrt(3-x^2) - x^4/sqrt(3-x^2)) dx

Выполним подстановку замены переменной:

z = sqrt(3-x^2)
dz = -x/sqrt(3-x^2) dx

Теперь можно получить новое выражение интеграла:

Int(2 + 3x^2/sqrt(3-x^2) - x^4/sqrt(3-x^2)) dx = Int(2 - 3z^2 + z^4) dz

Интегрируя это выражение, получаем:

2z - z^3/3 + z^5/5 + C,

где C - постоянная интегрирования.

Теперь подставляем обратно значение z и получаем ответ:

2*sqrt(3-x^2) - (3-x^2)^(3/2)/3 + (3-x^2)^(5/2)/5 + C.