Найти первообразную от f(x) = x^3+x/x^2+1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти первообразную от функции f(x) = x^3 + x / (x^2 + 1), нужно разделить данное выражение на составные части:

f(x) = x^3 + x / (x^2 + 1) = x^3 + x * (x^2 + 1)^(-1)

Теперь мы видим два слагаемых. Для первого слагаемого x^3 мы используем обычное правило интегрирования:

∫ x^3 dx = (1/4) * x^4

А для второго слагаемого x * (x^2 + 1)^(-1) используем метод интегрирования по частям:

∫ u dv = uv - ∫ v du

Где:
u = x => du = dx
dv = (x^2 + 1)^(-1) dx => v = ∫ (x^2 + 1)^(-1) dx = arctan(x) + C

Теперь вычислим по частям:

(x arctan(x)) - ∫ dx = x arctan(x) - x

Собираем все вместе:

∫ x^3 + x / (x^2 + 1) dx = (1/4) x^4 + x arctan(x) - x + C

Где C - произвольная постоянная. Таким образом, первообразная функции f(x) = x^3 + x / (x^2 + 1) равна (1/4) x^4 + x arctan(x) - x + C.