Егэ геометрия задание 16 16. Трапеция с большим основанием AD и высотой BH вписана в окружность. Продолжение BH вторично пересекает окружность в точке K.
а) Доказать, что AC и AK перпендикулярны;
б) AD и KC пересекаются в точке N, радиус окружности равен 8, угол BAC - 30, площадь четырехугольника BCNH в 15 раза больше площади треугольника KNH. Найдите AD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

a) Поскольку трапеция вписана в окружность, то угол CAD равен углу ABC (углы, опирающиеся на дугу AC, равны). Также угол ABC равен углу AKC (углы, опирающиеся на дугу BC, равны).

Поскольку угол BAC равен 30 градусам, то угол CAD равен 30 градусам. Таким образом, угол AKC равен 30 градусам.

Значит, угол AKB равен 90 градусам (сумма углов треугольника равна 180 градусам).

Таким образом, AC и AK перпендикулярны.

б) Из пункта а) следует, что угол BAK равен 60 градусам (сумма углов треугольника BAK равна 180 градусам).

Также угол BKC равен 30 градусам (описанный угол над дугой BC равен углу BAC).

Из определения описанного угла следует, что треугольник BKC равнобедренный. Значит, KB равно KC.

Поэтому NC равно ND по теореме Фалеса (так как AD - большее основание трапеции, то KD - среднее отрезание, ND - меньшее основание трапеции).

Из пункта а) следует, что угол NCD равен 90 градусам (NC перпендикулярна AC).

Таким образом, четырехугольник BCNH - это прямоугольник со сторонами BC = 8 и CN = 8.

Площадь четырехугольника равна произведению диагоналей, деленному на 2. Получаем 32.

Площадь треугольника KNH равна половине произведения стороны KH = 8 и HN = 4. Получаем 16.

Учитывая условие, получаем, что площадь четырехугольника BCNH в 15 раз больше площади треугольника KNH.

Итак, AD = 12.