Найдите все решения уравнения cos 2x+sin^2x=cos x.Укажите корни ,принадлежащие отрезку[-п;п]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Используем тригонометрические тождества:

cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)
sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

Тогда уравнение примет вид:

cos(2x) + (1 - cos^2(x)) = cos(x)
cos(2x) + 1 - cos^2(x) = cos(x)

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

cos(2x) - cos(x) - cos^2(x) + 1 = 0
cos(2x) - cos(x) - (cos(x) - 1)(cos(x) + 1) = 0
cos(2x) - cos(x) - (cos(x) - 1)(cos(x) + 1) = 0

Раскрываем скобки:

cos(2x) - cos(x) - cos^2(x) + 1 = 0
cos(2x) - cos(x) - cos(x)^2 - cos(x) + 1 = 0
cos(2x) - 2cos(x) - cos(x)^2 + 1 = 0

Видим, что уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно cos(x).

Пусть cos(x) = t, тогда уравнение примет вид:

t^2 - 2t - t^2 + 1 = 0
-t - 1 = 0
t = -1

Подставляем обратно cos(x) = -1:

cos(2x) = -1
2x = π + 2πk, где k - целое число
x = π/2 + πk, где k - целое число

Теперь найдем корни на отрезке [-π, π]:

x = π/2, -π/2

Таким образом, решениями уравнения cos(2x) + sin^2(x) = cos(x) на отрезке [-π, π] являются x = π/2 и x = -π/2.