Доказать что для n принадлежащего N справедливо равенство 1*2+2*3+..+n(n+1)=n(n+1)(n+2)\3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем данное равенство методом математической индукции.

База индукции (n = 1):

При n = 1 левая часть равенства равна 12 = 2, а правая часть равена 1(1+1)(1+2)/3 = 12*3/3 = 2.
Таким образом, база индукции верна.

Предположение:

Пусть формула верна для некоторого n = k:

12 + 23 + ... + k(k+1) = k(k+1)(k+2)/3

Индукционный переход:

Докажем для n = k + 1:

12 + 23 + ... + k(k+1) + (k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)(k+3)/3

Распишем левую часть:

12 + 23 + ... + k(k+1) + (k+1)(k+2) = k(k+1)(k+2)/3 + (k+1)(k+2)
= (k(k+1)(k+2) + 3(k+1)(k+2))/3
= ((k+1)(k+2)(k) + (k+1)(k+2))/3
= (k+1)(k+2)(k+3)/3

Таким образом, при n = k + 1 формула также верна.

Исходное равенство доказано.