Решите неравенство: (x^2-7|x|+10)/(x^2+6x+9)<0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала решим неравенство в числителе:

x^2 - 7|x| + 10 < 0

Разобьем его на два случая:

Если x >= 0, то модуль равен самому числу (|x| = x), и неравенство примет вид:

x^2 - 7x + 10 < 0

Факторизуем квадратное уравнение:

(x - 2)(x - 5) < 0

Корни уравнения: x = 2, x = 5. Таким образом, неравенство будет выполнено на интервалах (-∞, 2) и (5, +∞).

Если x < 0, то модуль будет равен противоположному числу (|x| = -x), и неравенство примет вид:

x^2 + 7x + 10 < 0

Факторизуем квадратное уравнение:

(x + 2)(x + 5) < 0

Корни уравнения: x = -2, x = -5. Таким образом, неравенство будет выполнено на интервале (-5, -2).

Теперь рассмотрим знаменатель неравенства:

x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2

Таким образом, знаменатель является полным квадратом, и он всегда больше или равен нулю. Следовательно, нужно найти значения x, для которых числитель меньше нуля, а знаменатель больше нуля:

x принадлежит (-5, -3) или (2, 5)

Итак, решение неравенства: x принадлежит (-5, -3) объединено с (2, 5).